Une étude de fonction

Soit \(f\)  la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)  par :  \(f(x) = (5 - 2x)\text e^x\) .

On note \(\mathcal{C}\)  la courbe représentative de \(f\) . Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe \(\mathcal{C}\)  dans un repère orthogonal où les unités ont été effacées.

\(\text A\)  est le point d’intersection de \(\mathcal{C}\)  avec l’axe des ordonnées et \(\text B\)  le point d’intersection de \(\mathcal{C}\)  avec l’axe des abscisses. 
\(\text D\)  est le point de \(\mathcal{C}\)  dont l’ordonnée est le maximum de la fonction \(f\)  sur  \(\mathbb{R}\) .

1. Calculer les coordonnées des points \(\text A\)  et \(\text B\) .

2. Soit \(f'\)  la fonction dérivée de \(f\)  sur \(\mathbb{R}\) . Montrer que, pour tout réel \(x\) ,  \(f'(x) = (3 - 2x)\text e^x\) .

3. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) .

4. En déduire que le point \(\text D\)  admet comme coordonnées \(\left(1,5~;~2\text e^{1,5}\right)\) .

5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\)  au point \(\text A\) , puis vérifier, à l’aide de l’équation obtenue, que le point \(\text D\)  n’appartient pas à cette tangente.